Kurcze, taka dyskusja, czy 0,(3), równe jest 1/3? To wprost wynika z definicji sumy szeregu geometrycznego. W nieskończoności wynosi to właśnie 1/3. Jeśli ktoś twierdzi, że tak nie jest, to niech z łaski swojej poda rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/3 (czyżby takie nie istniało?).
Na zdrowy rozum, to po prostu:
1,0 dzielimy na 3, otrzymujemy 0,3 (X1) i resztę 0,10
............dzielimy 0,10 przez 3, otrzymujemy 0,03 (X2) i resztę 0,010,
......................dzielimy 0,010 przez 3, otrzymujemy 0,003 (X3) i resztę 0,001
...................................dzielimy...
Czyli dzieląc 1 przez 3, otrzymujemy 3 jedną pozycję dalej po przecinku (odkładamy ją do sumy), i jedynkę reszty na tym samym miejscu, którą znowu musimy podzielić przez 3... Jest ewidentne, że będzie się to powtarzać w nieskończoność.
W nieskończoności suma X1+X2+X3 +... będzie równoznaczna 1/3. Tak samo jest z 1/9.
http://math.stackexchange.com/questions/11/does-99 999-1/60#60Nie wiem dlaczego
Kowal155 doszukuje się tu jakichś błędów.
Oczywiście, że jeśli weźmiemy dowolnie duże, ale skończone n (n należy do całkowitych dodatnich), to suma X1+X2...+Xn będzie się różniła od 1/3. Sprawa jednak wygląda tak, że jakby to się nie wydawało dziwne, matematyka zakłada istnienie nieskończoności aktualnej.
Potencjalnie nasze n możemy przesuwać w nieskończoność. Dla dowolnie małego r (r>0), możemy podać takie N (całkowite, dodatnie), że dla każdego n>N, będzie:
0 < 1/3 - (X1+X2+...Xn) < r. Czyli dla dowolnie małej liczby dodatniej, możemy znaleźć takie miejsce w tym naszym rozwinięciu dziesiętnym, poza którym (na prawo od niego) jakiegokolwiek elementu nie wybierzemy, suma wszystkich wcześniejszych elementów i tego wybranego, będzie się różniła od 1/3 o wartość mniejszą, niż ta liczba.
Dla intuicji problematyczne jest to r>0 (różnica przy skończonym n jest zawsze większa od 0). Jednak w abstrakcji tego, że nieskończoność istnieje aktualnie, w całości na raz (pozbywamy się po prostu ze swoich rozumowań czasu, jakichś naiwnych analogii z czynnością liczenia), 0,(3) jest równe 1/3. Inaczej rzecz ujmując: jest dowolnie 1/3 bliskie, a więc w nieskończoności, umawiamy się, po prostu tożsame.
Można też to ująć w ten sposób, że nie da się ustalić różnicy (a więc i rozróżnienia) między tymi liczbami - różnica jest dowolnie mała (zawsze możemy znaleźć takie N, że będzie mniejsza), a więc w nieskończoności nie istnieje.
Nieskończoności aktualnej nie można sobie wyobrażać jako czegoś rozwijającego się, następującego po sobie w czasie czy przestrzeni. Nieskończoność jest, w całości na raz. Powiedzmy tak - jest odnoszeniem się do siebie abstrakcyjnych sensów. Coś w rodzaju: nie da się ustalić rozróżnienia dwóch liczb, jakkolwiek mała jest różnica - jest zawsze za duża, a więc tej różnicy tak naprawdę nie ma.
Wiadomo, że jakby się czepiać i szukać dziur w całym, to można zauważyć, że przecież co innego jest <1/3, 1>, a co innego (1/3, 1>. Pierwszy przedział posiada najmniejszy element [1/3], a drugi nie. Warto sobie z takich rzeczy zdawać sprawę. Takie sprawy się rozważa w pewnych działach matematyki. I może stąd uwagi
Kowala155. Ale w tym konkretnie wypadku to już taka bardziej kosmetyka. Z tego co wiem, matematycy uznają, że 0,(3) to po prostu JEST 1/3.
