Widziałem w internecie parę dyskusji na ten temat i nikt nie udowodnił jednoznacznie, że 0,(9)=1. Rozumiem, że przyjmuje się to w matematyce - ok - ale jest to paradoks.

Sh1eldeR

Wlasnie, Domko napisal mocny argument przeciw. Wg niektorych caly ten spor to kwestia tego, jak interpretuje sie zapis 0.(9) (czy jako ciag, czy jako co?).

Dyskusja zatacza koło (które to już? ) Jak już pisałem zapis należy traktować jako granicę ciągu sum częściowych (szeregu).

Takie podejście ma pewne wady, ale też wiele niepodważalnych zalet.

Sam paradoks jest moim zdaniem z tego samego gatunku co relatywistyczny paradoks bliźniąt. Wygląda dziwnie i kłóci się z tzw. "chłopskim rozumem", ale tak po prostu jest.

Na zdrowy rozsądek (który, wiem oczywiście, często zawodzi w matematyce) to NIE jest 1.

a 0,(8) to jest 0,9 ?

Bashir
To nienajszczesliwsze pytanie. 0.(8), czyli 0.888... w kazdym przypadku bedzie mniejsze od 0.9 o wiecej niz 0.01, a 0.01 robi calkiem duza roznice

(tlumaczenie na chlopski rozum: dodaj do liczby 0.888... wspomniane 0.01 i otrzymasz 0.89888..., wiec widac ze do 0.9 i tak jeszcze brakuje)

Kto by pomyślał, ze ta dyskusja jeszcze wróci

Sh1eldeR
tutaj zacytuję gościa z innej strony

Wygląda to jakoś tak: gdyby 0,(9) bylo mniejsze od 1, to jaka byłaby między nimi różnica? Mniejsza niż między 1 i 0,9; mniejsza niż między 1 a 0,99; mniejsza niż między 1 a 0,999 - słowem różnica jest mniejsza niż każdy ułamek 0,000000...001 - dowolnie długi. Zatem różnica wynosi 0.

Różnica wynosi 0, czyli 0,(9)=1 oczywiście nie jestem jakimś geniuszem matematycznym, mogę się mylić, ale tego już w podstawówce uczą, to ja nie rozumiem w końcu komu ufać

Sh1eldeR
fakt, to tak na szybko było, nieprzemyślane.... shame on me. Ale wciąż 0,(9) nie jest równe 1. Hm, nie wiem czy padł już przykład asymptoty, albo nieskończoności. Pewne rzeczy są trudne do wyobrażania, ale skoro 0,(9) to jest 0,999999999999... itd. to to nigdy nie będzie 1 bo prawie robi różnicę

Darnok
gdyby 0,(9) bylo mniejsze od 1, to jaka byłaby między nimi różnica

różnicę między 1 a 0,(9) zapisujesz wyrażeniem :

1 - 0,(9)

Panowie, proponuję jakiegoś matematyka spytać, bo można się tak spierać jeszcze 100 stron.

no to mówię że nie jest równe

Panowie, proponuję jakiegoś matematyka spytać, bo można się tak spierać jeszcze 100 stron

Alez to jest oficjalne stanowisko nauki! Natomiast problem z akceptacja tej rownosci wynika moim zdaniem z niemozliwosci wyobrazenia sobie zjawiska nieskonczonosci - umysl ludzki nie potrafi przyjac do wiadomosci, ze dziewiatki po zerze NIGDY SIE NIE KONCZA i dlatego 0,(9) nie moze byc w zaden sposob mniejsze o 1, bo (na przyklad) jedynka, od ktorej odejmie sie liczbe nieskonczenie mala, nadal pozostanie jedynka. Nie nazwalbym tego paradoksem - nieskonczonosc jest po prostu zjawiskiem dla czlowieka niewyobrazalnym, podobnie jak np. niewyobrazalna jest przestrzen wielowymiarowa (teserakt chocby). Troche otwartosci na niepojete, drodzy Trekkerzy!

Nasty Rudolf
w takim razie nauka jest do bani

Nasty Rudolf

Natomiast problem z akceptacja tej rownosci wynika moim zdaniem z niemozliwosci wyobrazenia sobie zjawiska nieskonczonosci - umysl ludzki nie potrafi przyjac do wiadomosci, ze dziewiatki po zerze NIGDY SIE NIE KONCZA i dlatego 0,(9) nie moze byc w zaden sposob mniejsze o 1, bo (na przyklad) jedynka, od ktorej odejmie sie liczbe nieskonczenie mala, nadal pozostanie jedynka.

Wszakoż każdy wykres pokaże, iż 0.(9) dąży ku 1, ale nigdy tej "jedynki" nie osiąga....

To jest jak z dzieleniem przez 0 Wiadomo, że przez zero nie da się dzielić, jednak w przypadku granic dzielenie przez zero daje nieskończoność (albo -nieskończoność). Stąd 0,(9) nie równa się 1, tylko 0,(9), granica tego ciągu w nieskończoności równa się 1 A to nie to samo.

Wszakoż każdy wykres pokaże, iż 0.(9) dąży ku 1, ale nigdy tej "jedynki" nie osiąga....

Nie bardzo rozumiem, jaki wykres. Wykres liczby? Co chcialbys umiescic na osiach wykresu, o ktorym mowisz? Mozesz wrzucic ilustracje - bedzie najprosciej.

michstach, o mojej nauce matematyki zapomnialem juz tak dawno jak i celowo , ale nie bardzo rozumiem, gdzie wy doszukujecie sie ciagow, wykresow itp. w jednej liczbie. Wszak juz dzieci w podstawowce ucza sie, ze 1:3=0,333333.....=0,(3)=1/3. A 3x1/3=1. Czy mam rozumiec, ze nie zgadzacie sie rowniez z ktoryms z powyzszych twierdzen? Jesli tak nie jest, to znajdzcie prosze jakakolwiek teorie, ktora podwazajac nieprawdziwosc rownosci 0,(9)=1 nie podwazy rownoczesnie powyzszego. Odwaznie smie twierdzic, ze takowej sie nie doszukacie.

Q__ mówi o granicy ciągu po prostu - o tym o czym ja sam mówiłem.

Q__
Kto by pomyślał, ze ta dyskusja jeszcze wróci

Na pewno nie ja.

Z Wikiepedii na ten temat:

"Błędne rozumowania (...)

Traktowanie 0,(9) nie jako granicy ciągu (0,9;0,99;0,999;...) lecz jako kolejnych wyrazów tego ciągu. Stąd pochodzi rozumowanie, że ułamek 0,(9) zawiera tylko skończoną, bliżej nieokreśloną liczbę dziewiątek."

Natomiast nie czuje sie kompetentny, zeby jakos skomentowac powyzsza mysl. Powiem tylko tyle - argumenty z wyzej wymienionego zrodla przekonuja mnie w 100%ach. Matematyka to w koncu logika - wielce teoretyczna i (moim zdaniem) nieco wyimaginowana, ale logika. Nie tacy jak my rozwazali ten problem...

Domko

Q__ mówi o granicy ciągu po prostu - o tym o czym ja sam mówiłem.

O dziękuję za dopowiedzenie...

Na pewno nie ja.

I nie ja.

Nasty Rudolf

Stąd pochodzi rozumowanie, że ułamek 0,(9) zawiera tylko skończoną, bliżej nieokreśloną liczbę dziewiątek."

Przecież sam fakt, że 9 jest "w okresie" wskazuje na nieskończoną ilość... Ale o czym niby to świadczy?

według Wikipedii to ja "nie rozumiem natury ułamków dziesiętnych"

1:3= 0,3

??? 0,3 to chyba 3/10, a nie 1/3?

O proszę, edytowac zdążył, żeby się nie wydało.

Moim skromnym zdaniem, chociaż ekspertem nie jestem, 1/3 nie równa się 0,(3). Owszem, w podstawówce tak uczą, chociaż uważam, że to wina wszechobecnych dzisiaj kalkulatorów Otóż porównanie 1/3 z 0,333333 jest wielkim przybliżeniem a wynika z niedoskonałości elektronicznych systemów. Jakbyście zauważyli, do poważniejszych obliczeń matematycznych używa się raczej ułamków zwykłych. Czasami też można zauważyć w urządzeniach elektronicznych, że pokazują na ostatniej pozycji 2 zamiast 3, np. 0,333333332, albo 0,9999999998. Na studiach za to dowiedziałem się, że użycie "lim" usprawiedliwia największe zawiłości matematyki

Jurgen

1:3= 0,3

??? 0,3 to chyba 3/10, a nie 1/3?

O proszę, edytowac zdążył, żeby się nie wydało.

wyedytowałem ale Ty źle skopiowałeś bo tam było 1/3 = 0,3 i 1/3

A co to znaczy 1/3 = 0,3 i 1/3 ?

poproś Q__ , Paha Wrajta czy tam innego szefa żeby "wgrali" na forum latexa to Ci to czytelniej napiszę

poproś Q__ , Paha Wrajta czy tam innego szefa żeby "wgrali" na forum latexa to Ci to czytelniej napiszę

Takie rzeczy to tylko w erze... znzczy Kai może.

Tochę nad tym problemem sobie porozmyślałem i wymyśiłem
Otóż źle się wyrażaliśmy chyba Otóż 0,(9) faktycznie jest jest liczbą, tylko sumą nieskończonej liczby elementów ciągu o wzorze ogólnym 0,1(a(indeks dolny n-1)), gdzie a0 = 0,9,
a1= 0,99 itd Suma wszystkich elementów takiego ciągu to właśnie 0,(9), natomiast granica przy n dążącym do nieskończoności wynosi 1 Oznacza to tyle, że kolejne elementy tego ciągu zbliżają się coraz bardziej do wartości 1, ale jej nie osiągają
Ogólnie moje myślenie już nie jest o tej porze zbyt jasne, więc mogłem pomylić wzór ogólny ciągu, ale zasada chyba jest dobra

Q__
Mi matematyk mówił, że 0,(9) to 1 i raczej był tego pewien, bo w szkole to gadał

Darnok

A przychodząc ze szkoły do domu mówiłeś rodzicom że dostałeś ze sprawdzianu 0,(9) czy 1 ?

poproś Q__ , Paha Wrajta czy tam innego szefa żeby "wgrali" na forum latexa to Ci to czytelniej napiszę

Takie rzeczy to tylko w erze... znzczy Kai może

no właśnie, nas proszę w to nie mieszać

a napisać czytelniej zaqwsze można chociażby publikując zrzut ekranu z wzorem

Bashir

poproś Q__ , Paha Wrajta czy tam innego szefa żeby "wgrali" na forum latexa

Latex to tylko na Troi jak ją na Borg Queen przerobili