przykro mi ze musze zakonczyc wasze rozwazania
przykro mi ze sie tak jarasz ale niczego nie wynalazles - ten "dowod" jest nam jak najbardziej znany, chyba sie tu gdzies nawet przewinal. I zadnych rozwazan nie zakonczyl - ani naszych, ani klocacych sie o to naukowcow.

Ten dowod to jest takie 1 = 1, 10 = 10.

/Sh1eldeR

Trekkerów, śmiało podążających tam, gdzie nikt jeszcze nie dotarł nic nie jest w stanie powstrzymać

Ale cyba zbytnio czepiasz się tego dowodu, który jest całkiem sensowny. W zasadzie jego jedyną bolączką jest to, że nie precyzuje jak należy rozumieć nieskończone rozwinięie i co naprawdę oznaczają operacje na nim.

Czepiać się można drugiego sposobu, który opiera się na stwierdzeniu:
okres zapisuje sie zawsze dzielac caly okres przez tyle dziewiatek ile jest liczb w okesie
Które jest, prawdziwe, ale wymaga dowodu innego niż "bo tak mnie nauczyli"

Spotkalem dzisiaj mojego bylego wykladowce od analizy matematycznej i spytalem sie go o ta sprawe - tym razem profesor wiedzial doskonale o co chodzi. Powiedzial, ze 0.(9) z cala pewnoscia jest rowne 1 i ze to ta sama liczba oraz ze nie ma o to zadnego sporu wsrod matematykow (ten profesor od analizy numerycznej, ktorego wczesniej o to spytalem i ktory powiedzial, ze to nie moze byc rowne 1, chyba nie zalapal o co chodzi). Wiecej, on sam z tego korzystal do udowodnienia paru rzeczy. Narzekal, ze kiedys pokazywal to standardowo na wykladach, ale teraz nie ma juz na to czasu. Zapytany o dowod na to powiedzial, ze ten oparty o sume szeregu geometrycznego jest jak najbardziej poprawny, ale nawet ten z pomnozeniem przez 10 jest dobry i w zasadzie mozna z niego korzystac. Mowil, ze calkiem czesto korzysta z faktu, ze np. 3.123(9) to jest to samo co 3.124 i powiedzial nawet kiedy wprowadzenie czegos takiego jest wrecz konieczne do przeprowadzenia jakiegos dowodu, ale nie pamietam juz o co chodzilo (cos z rozroznianiem liczb).

Dla mnie to koniec dyskusji w tej kwestii, daze profesora ogromnym autorytetem - oprocz samych umiejetnosci matematyznych zawsze bardzo imponowal znajomoscia roznych kruczkow, ciekawostek i w ogole opinii panujaczch w swiecie matematcznym, tak wspolczesnych jak i z przeszlosci.

Co wiecej, takiego samego zdania byl wykladowca u Barusza i moj kolega-geniusz. Z bardziej utytulowanych przeciwnikow moge wymienic profesora od analizy numerycznej, ale on chyba myslal, ze chodzi mi o reprezentacje liczby 0.(9) w komputerze (bo tym sie on zajmuje), bo powiedzial nawet, ze nie ma mozna uzyskac nawet 0.(9), ktore jest teoretycznie mniejsze od 1.

Jak dla mnie, liczby te sa rowne.


Uff

/Sh1eldeR

Nie wiem czy rzeczywiście jest tak, że nie ma o to żadnego sporu matematycznego. Proponuję w google poszukać tego problemu - ja tak zrobiłem i znalazłem strony, na których był poruszany ten sam problem i były DOWODY na to, że 0,(9) <> 1. Autentycznie dowody, więc nie wiem czy ten spór można ot tak zakończyć - jeśli da się przedstawić zarówno dowody na to, że 0,(9) = 1, jak i na to, że 0,(9) <> 1, to chyba coś jest nie tak w tym przypadku w matematyce.
Jak będę miał trochę czasu to przytoczę te dowody na 0,(9) <> 1 z tych stron (ewentualnie proponuję poszukać we własnym zakresie) - rozumiem autorytet profesorów, ale założę się, że znalazłby się jakiś, który podałby dowody drugiej strony. Bo skoro istnieją dowody na równość i nierówność, to każdy pewnie interpretuje to jak chce (nawet profesor, no bo ma dowód).
A zawsze myślałem, że matematyka jest jednoznaczna...

przeciez jest, a zdanie jest po prostu tautologia

0,(9) = 1 lub 0,(9) !=1

Zdanie jest zawsze prawdziwe i nie zaburza zadnego prawa

Ano racja. Czyli w efekcie w wyniku prostego dzialania logicznego, wszyscy maja racje.

Sh1eldeR, w zasadzie wątek czytam tylko z ciekawości (kończyłem prawo, chociaż moim ulubionym przedmiotem była fizyka), ale jeżeli Domko ma rację i istnieją dowody na to, że 0,(9)<1, to takie stwierdzenie Twpjego profesora (z całym szacunkiem) jest trochę zarozumiałe.
W prawie niby coś jest napisane w takim a takim artykule jakiejś tam ustawy, ale często są spory, co taki przepis znaczy. Są profesorowie, którzy powiedzą "nieprawda, jast tak, jak ja mówię, a ci, co twierdzą inaczej nie maja racji!", ale ci najlepsi stwierdzą, że są dwa (albotrzy lub więcej) poglądy, ale ja uważam, że cośtam, bo...
No chyba że (jakby powiedział nieżyjący już profesor Wójcik) pogląd jest jednomyślny, tzn. tylko jedna osoba tak myśli

Domko, gdybyś miał chwilkę czasu, to poszukaj. Chętnie zobaczę jakiś z tych "dowodów".
A tak na marginesie - problem, czy obcna matematyka jest niesprzeczna jest ciągle otwarty (sic!). Ale nie wierzę, żeby miała się wywalić na czymś takim jak 0,(9)

Jeden z przykladow, ktory znalazlem na stronach matematycznych, na obalenie tezy, ze 0,(9)=1, to cos, co juz przedstawialem. Chodzi o to, ze 0,(9) mozna przedstawic jako granice ciagu 0,9+0,09+0,009+...
Jednak zgodnie z definicja:
"Granica ciągu liczbowego to liczba, do której wyrazy tego ciągu zbliżają się". Co to oznacza? Oznacza to, ze ciag 0,9+0,09+0,009+... zbliza sie do liczby 1, ale jej nie osiaga(!!).
Jak wiec widac jest to bardzo umowna kwestia i moze sie okazac, ze nie rozstrzygnieta. Matematyka nie powinna opierac sie o umowy, ale o fakty, ktore wynikaja z istniejacych dzialan. Moje powyzsze stwierdzenie pokazuje pewien konflikt w matematyce - z jednej strony granica ciagu to miejsce, ktorego ciag nigdy nie osiaga, a z drugiej strony ciag 0,9+0,09+0,009+... ma sie rownac jeden.
Cos tu ewidentnie nie gra...

A w wolnych chwilach dalej szukam pozostalych przykladow na forach matematycznych...

Domko
no to jest wlasnie moj koronny dowod, ze 0,9 != 1, bo granica ciagu (funkcji) to nie wartosc ciagu (fcji).
Z drugiej strony, biorac pod uwage uporzadkowanie zbioru liczb R, nie moze istniec taka liczba, zeby miedzy 1 a ta liczba nie znajdowaly sie inne liczby - a skoro 0,(9) powinno byc taka liczba, dochodzimy do wniosku, ze 0,(9)=1.
Najlepiej chyba przyjac, ze liczby bedacej granica ciagu 0,(9) nie da sie przedstawic jako liczby rzeczywistej i tym samym porownywanie jej do 1 jest czyms takim, jakby przyrownywac piernik do wiatraka.

Oczywiscie w przyblizeniu mozna powiedziec, ze wiatrak jest wiekszy od piernika, chyba ze ktos zrobi mega-piernika i wowczas beda rowne

No wlasnie. Wydaje sie wiec, ze jest to niejednoznaczne w matematyce, a skoro tak to przewraca moje myslenie o matematyce niemal do gory nogami (no bo jak w matematyce z jednej strony moze byc tak, a z drugiej inaczej). Ech...

Czuje, że zaczynam się powtarzać, więc chyba utknęliśmy w pacie. No ale:

Domko
Chodzi o to, ze 0,(9) mozna przedstawic jako granice ciagu 0,9+0,09+0,009+...
Z dalszej części Twojej wypowiedzi wynika, że uważasz, że granica ta wynosi 1 (jeżeli jesteś innego zdania mogę się poświęcić i wypisać tutaj dowód linijka po linijce, jak w liceum).
No więc w czym problem? Bo ja nie rozumiem? I jakie ma znaczenie fakt, że żeczony ciąg granicy tej nigdy nie osiąga?

Uwaga na marginesie nr 1: Istnieją ciągi, które osiągają swoją granicę, np a(n) = 1, czy też b(n) = ((-1)^n + 1)/n

Uwaga na marginesie nr 2: Cała matematyka to jedna wielka umowa

No tak, ale skoro nie osiaga to nie jest rowne. Wiec ja widze dalej problem.
Faktem jest, ze nie jestem juz ukierunkowany za zadna strone - 0,(9) moze sie rownac albo nie rownac 1 - ale chcialbym to scisle ustalic, aby zrozumiem dlaczego tak, a nie inaczej, i czemu watpliwosci mozna poprzec dowodami po jednej i drugiehj stronie.

A matematyka to wiem, ze umowa, ale jesli jedna definicja zaprzecza innej, to juz jest cos nie tak...

To może inaczej. napisz, które z ogniw tego łańcucha kwestionujesz:

1. 0,(9) to granica ciągu 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
2. Granica ciągu 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... wynosi 1
3. Wnioskując z 1 i 2 mamy 0,(9) = 1.

Może problem polega na nie do końca ścisłym zapisie ciągu, który powinien wyglądać:
0,9; 0,9 + 0,09; 0,9 + 0,09 + 0,009; 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0009, ...

Kwestionuje samo pojecie granicy ciagu. Granica to cos czego ciag NIGDY nie osiaga. Skoro tak, to oznacza, ze 0,(9) nigdy nie osiaga 1. Takze nie kwestionuje zadnego z tych punktow - kwestionuje wnioski na podstawie definicji granicy ciagu, ktora przytoczylem wyzej.

Jak pisze - jest problem, bo obie strony moga wnioskowac na swoja korzysc, a nie powinno to miec miejsca w matematyce. Gdy przygladam sie rozmowom na ten temat na innych forach to rowniez znajduje podobne posty jak u nas, wiec nie jest to do konca jasne...

Jak to nigdy? "Kiedys" osiaga - w nieskonczonosci! Skoro mozesz zaakceptowac nieskonczona liczbe dziewiatek, to czemu mialbys nie akceptowac nieskonczonej liczby wyrazow ciagu, hm? A ich suma jest rowna 1.

/Sh1eldeR

Matematyka nie powinna opierac sie o umowy, ale o fakty, ktore wynikaja z istniejacych dzialan.

Lekko abstrahując od tematu, przyczepię się do tego stwierdzenia. Wg moich obserwacji cała matematyka opiera się na umowie, tam jest bardzo mało faktów... Przykładem może być choćby definicja punktu, prostej, czy definiowanie działań.

Ehhh. Jeżeli istnieje liczba do której ciąg dąży to czemu nie nazwać jej granicą? Jak dla mnie to całkiem dobra (a co ważniejsze praktyczna) definicja.

Granica to cos czego ciag NIGDY nie osiaga. Skoro tak, to oznacza, ze 0,(9) nigdy nie osiaga 1

Może nie zrozumiałem, ale dla mnie to zabrzmiało jak:
"granica nigdy nie osiąga granicy"

cała matematyka opiera się na umowie, tam jest bardzo mało faktów...

No oczywiscie, matematyka to nauka czysto abstrakcyjna, w pewnych warunkach kolo jest kwadratem a 1+1=10
Wszystko zalezy od zalozen, od ktorych wyszlismy.

Może nie zrozumiałem, ale dla mnie to zabrzmiało jak:
"granica nigdy nie osiąga granicy"

Problemem jest to, ze granica to _nie_ jest wartoscia funkcji/ciagu w danym punkcie. Oczywiscie ogolnie uwaza sie, ze mozna przyjac, ze granica jest rowna wartosci w tym punkcie, ale jesli przy funkcji 1/x napiszesz, ze (dla x -> 0) 1/x = nieskonczonosc, dostaniesz pale u kazdego prowadzacego, a co przyjemniejsi dopisza jeszcze literki lim.

The_D, czy zapis 0,(9) oznacza granicę ciągu? Mnie jeszcze w liceum (najstarsze dinozaury nie pamiętają tego faktu) uczyli, że trzeba jeszcze coś przed tym napisać ("lim" jakieś albo podobnie). Wtedy stwierdzenie "granica nigdy nie osiąga granicy" nie byłoby tym samym, co 0,(9) nigdy nie osiaga 1.

Pozwólcie że powiem tak: to chyba jedyny wątek na forum, który gdyby był pisany w każdym języku, tudzież chińskim, lub suahilli to bym tak samo rozumiał jak po polsku

[OT]
szwagier
Wyobrażam sobie. Właśnie przeglądałem wątek o ekonomii federacji i dyskusji czy wartość pieniądza jest nośnikiem jakiejśtam wartości i jaka ta wartość jest
[/OT]

W jednym ze swoich postów (a konkretnie w tym, Domko napisał, że 0,(9) można przedstawić jako granicę ciągu.
Granica tego ciągu wynosi 1, tego nikt w całym temacie nie kwestionował. W związku z tym nielogiczna wydała mi się kolejna wypowiedź Domka, stwierdzająca, że 0,(9) nigdy nie osiąga 1.

Teraz sprawa, czy 0,(9) można interpretować jako granicę ciągu. W zasadzie należałoby się zastanowić jak w ogóle należy interpretować ułamki dziesiętne nieskończone. Otóż w zapisie pozycyjnym wartość danej cyfry zależy od jej pozycji, przy czym kolejne cyfry mnożymy przez kolejne wykładniki. Czyli zapis
"123"
rozumiemy jako liczbę
3 * 10^0 + 2 * 10^1 + 1 *10^2.
System ten łatwo rozszerzyć do ułamków dziesiętnych, przypisując pozycjom po przecinku ujemne wykładniki, wtedy zapis
3,14
oznacza
3*10^0 + 1*10^(-1) + 4*10^(-2).
W sytuacji, gdy mamy nieskończenie wiele cyfr otrzymujemy sumę wyrazów nieskończonego ciągu. Jedynym rozsądnym sposobem zdefiniowania nieskończonej sumy jest granica ciągu sum częściowych, tzn zapis
a1 + a2 + a3 +a4 + ...
rozumiemy jako skrót notacyjny zapisu
lim (n->niesk.) ciągu: a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, ...
Nietrudno pokazać, że szeregi otrzymane z zapisów pozycyjnych są zawsze zbieżne. Co więcej, działania na granicach przekładają się na to, jak wyglądałyby nieskończone działania pisemne, cyfra po cyfrze. Tak więc definicja ułamków dziesiętnych (i nie tylko dziesiętnych) nieskończonych jako granic ciągów jest dobrze określona (po naszemu - trzyma się kupy).

W związku z tym nielogiczna wydała mi się kolejna wypowiedź Domka, stwierdzająca, że 0,(9) nigdy nie osiąga 1.

Proponuje przypomniec sobie twierdzenia dotyczace ciagow i dopiero potem wypowiadac sie o logicznosci tego stwierdzenia. Ja wlasnie tak zrobilem, dlatego pozwolilem sobie wypowiadac sie w ten sposob. Bo, niestety, takie sa fakty - granica ciagu to cos czego ciag nigdy nie osiaga, tylko sie zbliza (mowi sie, ze ciag "dazy do 1" - tzn. zbliza sie, ale nie dociera do tej 1).

Lekko abstrahując od tematu, przyczepię się do tego stwierdzenia. Wg moich obserwacji cała matematyka opiera się na umowie, tam jest bardzo mało faktów... Przykładem może być choćby definicja punktu, prostej, czy definiowanie działań.

Tak, wiem. W kolejnym poscie napisalem to mniej wiecej tak. Rozpedzilem sie wczesniej z tym stwierdzeniem.

Kolejne deja vu. Czyżby ktoś majstrował przy Matriksie?

Powiedz mi, czym dla ciebie jest 0,(9), skoro nie granicą? Ciągiem? Ostatnim wyrazem tego ciągu? Może czymś jeszcze innym?

Moze i deja vu, ale dalej nie odniosles sie do tego, ze granica ciagu jest punktem, ktorego ciag nigdy nie osiaga - i to jest w ksiazkach do matematyki. Dlatego po zamianie 0,(9) na ciag wynika, ze nie moze nigdy osiagnac liczby jeden. Wniosek z tego prosty - ze 1 to przyblizenie, a nie rownosc w przypadku tej liczby.
Z drugiej strony 0,(9) ma sie rownac jeden - stad kolejny prosty wniosek, ze te dwa stwierdzenia w matematyce nie sa tozsame, a wiec cos jest nie tak w tej kwestii w matematyce.

Nie wiem czego nie rozumiesz w tym co pisze - wszystko co napisalem jest zgodne z matematyka i nie ma tu zadnego bledu z nia zwiazanego (opieram sie na istniejacych definicjach). Jesli dalej nie wiesz, to naprawde zagladnij w sprawie ciagow do jakiejs ksiazki do matematyki, bo ja juz nie mam cierpliwosci do wyjasniana tak prostej rzeczy jak definicja granicy ciagow.

A może napiszę podobnie jak Ty wyżej - któremu ze stwierdzeń chcesz zaprzeczyć:
1) 0,(9) można przedstawić jako ciąg 0,9+0,09+0,009+...
2) Granica ciągu nie jest nigdy osiągana przez ciąg - on jedynie do niej zmierza

No wreszcie konkret. Nie podoba mi się:
0,(9) można przedstawić jako ciąg 0,9+0,09+0,009+...
Otóż ja uważam, że zapis:
0,9+0,09+0,009+...
nie oznacza żadnego ciągu, tylko jest skrótem notacyjnym zapisu
lim (n->niesk.) ciągu 0,9; 0,9 + 0,09; 0,9 + 0,09 + 0,009; ...
Czy jak kto woli szlaczkami:



I (jak widać) nie jestem w swoich poglądach odosobniony.

Cały czas przedstawiam konkrety, może trochę niejasno.

Mam więc pytanie - co chcesz przez to udowodnić? Że 0,(9) <> 0,9+0,09+0,009+...? Bo wydaje mi się, że jednak jest to prawda.

BTW, mam dziwne wrażenie, że jesteśmy jedynymi osobami, które dalej drążą ten temat. Uparci z nas forumowicze.

Mam więc pytanie - co chcesz przez to udowodnić
Po prostu próbuję pokazać, że 0,(9) = 0,9 + 0,09 + ... to nie ciąg, tylko GRANICA tego ciągu, która to granica do niczego NIE DĄZY, i nie musi niczego OSIĄGAĆ, bo po prostu JEST RÓWNA 1.

BTW, mam dziwne wrażenie, że jesteśmy jedynymi osobami, które dalej drążą ten temat. Uparci z nas forumowicze.

Chyba każdyjuż wyrobił sobie zdanie na ten temat i uznał, że nic już go nie może zmienić. Może powinniśmy wziąć z nich przykład? Albo dla używienia dyskusji jakieś głosowanie?
Czy 0,(9) jest:
a) = 1
b) <1
c) to zależy
d) trudno powiedzieć
e) ch* mnie to boli

Mówisz, masz